Московский пробник 3 декабря 2022. Профильная математика. Разбор всех заданий

Скачать задания: https://t.me/egekate/164
Телеграмм-канал с открытыми занятиями: https://t.me/egekate
Ютуб-канал: https://www.youtube.com/@egekate

Тайм-коды:
0:00 что вас ждет в этом видео

Первая часть
0:26 задача 1
2:38 задача 2
6:07 задача 3
7:31 задача 4
13:12 задача 5
13:32 задача 6
14:15 задача 7
17:03 задача 8
19:22 задача 9
24:49 задача 10
27:43 задача 11

Вторая часть
38:11 задача 12
44:08 задача 13
58:52 задача 14
1:05:04 задача 15
1:10:45 задача 16
1:23:03 задача 17
1:33:13 задача 18

Подведем итоги
1:49:40 обсуждаем сложность заданий, может ли такое быть на ЕГЭ??

№ 1. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и боковой стороной длины 9. Точка K на стороне BC такая, что KC = 4, SABC = 27. Найдите площадь треугольника ABK.
№ 2. Имеется банка в форме цилиндра. Из неё перелили сок в 40 цилиндрических стаканов. Диаметр одного стакана в 4 раза меньше диаметра банки. При этом уровень сока в каждом стакане оказался 8 см. Какой была высота уровня сока в банке? Ответ дайте в сантиметрах.
№ 3. В сборнике 4 билета по теме "Механические колебания". Вероятность того, что ученику попадётся билет не по данной теме равна 0,9. Сколько всего билетов в сборнике?
№ 4. Стрелок стреляет по мишеням 5 раз. Вероятность попадания каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события, что стрелок попадёт в цель 4 раза больше вероятности события, что он попадёт в цель 3 раза?
№ 7. Дан график функции y = f (x). Найдите количество точек, для которых f (x) f ′(x) меньше 0.
№ 8. Полная энергия падающего тела вычисляется по формуле Eпол = mv^2 + mgh. С какой скоростью двигалось тело массой m = 3 кг в момент, когда оно находилось на высоте h = 1,5 м, если его полная энергия в этот момент составляла Eпол = 68,1 Дж? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/c2.
№ 9. Из двух городов, расстояние между которыми 800 км, выехали навстречу друг другу два поезда. Второй поезд выехал на 2 часа позже первого и едет со скоростью на 10 км/ч больше скорости первого. Поезда встретились ровно в середине пути. Найдите скорость второго поезда.
№ 10. Дан график функции f (x) = | ax^2 + bx + c| , где a, b, c — целые числа. Найдите f(4).
№ 13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка E так, что A1E : EA = 3 : 2. Точка T - середина ребра B1C1, AA1 = 10 и AD = 6.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1, если AB=2sqrt(10).
№ 15. В банке можно открыть один из двух вкладов. По вкладу А в конце каждого из трёх лет начисляется по 20% от суммы вклада в начале года. По вкладу Б в конце каждого из первых двух лет начисляется по 22% от суммы вклада в начале года. При каком наименьшем целом количестве начисляемых за третий год процентов по вкладу Б, вклад Б будет выгоднее вклада А?
№ 16. В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат KCMN так, что вершины K и M расположены на катетах AC и BC соответственно, а на гипотенузе AB - вершина N. Вершины квадрата TPQR расположены на сторонах треугольника ABC, причём вершины P и Q находятся на катетах AC и BC соответственно, а вершины R и T на гипотенузе AB.
а) Докажите, что точка C и центры квадратов KCMN и TPQR лежат на одной прямой.
б) Найдите длину стороны квадрата TPQR, если AC = sqrt(2) и BC = 2sqrt(2).
№ 17. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
a(a − 7,5) − 2(a − 7,5)(2^x + 2) ≤ (2x^2 − 3x)(2^x + 2) − ax^2 + 1,5ax
имеет хотя бы одно решение на промежутке [−1; 0).
№ 18. Пусть {a_n} - последовательность натуральных чисел. Обозначим M меньше C(a_n) среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые меньше некоторого числа C, которое больше наименьшего, но не больше наибольшего члена этой последовательности. Обозначим M больше= C(a_n) - среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые не меньше числа C. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу.
К каждому члену последовательности {a_n} прибавили 4. Получилась новая последовательность, которую обозначим {a_n + 4}.
а) Существует ли последовательность {a_n}, состоящая из трёх членов, для которой M меньше 79(a_n + 4) меньше M меньше 79(a_n)?
б) Существует ли последовательность {an}, состоящая из трёх членов, для которой M меньше 79(a_n + 4) меньше M меньше 79(a_n) и M больше= 79(a_n + 4) меньше M больше= 79(a_n)?
в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n} равняется 84, M больше= 79(a_n) = 94, M меньше 79(a_n) = 70, M больше= 79(a_n + 4) = 96 и M меньше 79(a_n + 4) = 72. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности {a_n}?